11 класс. Занятие 10

Упругие свойства резины:  
Гук или не Гук?

Необходимые сведения

Если силу F, растягивающую резиновый шнур увеличить на ΔF, то его длина увеличится на некоторую величину Δℓ.  При малых значениях Δℓ, т.е. при Δℓ << ℓ, изменение силы пропорционально изменению длины (здесь ℓ - длина растянутого силой Fшнура): 
ΔF = kΔℓ, 
где k– коэффициент жёсткости, который определяется упругими свойствами резины и геометрическими размерами шнура. 
Упругие свойства изотропного материала определяются его модулем Юнга Eи коэффициентом Пуассона μ.
Модуль Юнга E определяет продольную деформацию. В соответствии с законом Гука относительная продольная (вдоль силы) ε_ℓ деформация шнура при увеличении (уменьшении) растягивающей силы Fна небольшую величину ΔF равна: 
ε_ℓ = Δℓ/ℓ = ΔF/ES, 
где ℓ и S– соответственно длина и площадь поперечного сечения шнура, растянутого силой F.
Коэффициент Пуассона связывает величины продольной (вдоль силы) и поперечных деформаций.  Так, при растяжении (сжатии) бруска прямоугольного сечением axb небольшое изменение Δaи Δbего поперечных размеров а и bсвязаны с продольной деформацией Δℓ/ℓ соотношением:
Δa/a = Δb/b = - μΔℓ/ℓ  
(Δa << a, Δb << b, Δℓ << ℓ).
Знак минус отражает тот факт, что при удлинении бруска (Δℓ > 0), его поперечные размеры, как известно, уменьшаются (Δa, Δb< 0) и, наоборот, – при укорочении (Δℓ < 0) – увеличиваются (Δa, Δb> 0).

В частности, для резинового шнура при ε_ℓ = Δℓ/ℓ << 1 относительное изменение его диаметра ε_d:
 ε_d = Δd/d = - μΔℓ/ℓ.

Оборудование

Резиновый шнур диаметром d₀ = 2,5 мм; резиновая лента (бинт); динамометр; две канцелярские клипсы; две струбцины; деревянные бруски; мерная лента; линейка ножницы; скотч.
Примечание: при необходимости вы можете отрезать кусок шнура или ленты любой длины и измерения  проводить на удобном для измерений участке резины.

Задание

1.      Снимите зависимость относительной длины ℓ/ℓ₀ резинового шнура от приложенной силы F вплоть до значений ℓ ~ 3ℓ₀, где ℓ₀ – длина недеформированного куска шнура. 
Рекомендация: опыт проводите при монотонном увеличении силы, т.е. снимите только нагрузочную кривую. Экспериментальные точки при каждом новом значении силы следует снимать по истечении 2-3 минут (время релаксации резины).
Результаты измерений занесите в Таблицу № 1.

Таблица 1. Зависимость ℓ(F)

2.      Выразите коэффициент жёсткости резинового шнура kчерез модуль Юнга и его геометрические параметры. Полученную формулу занесите в Таблицу № 1.

3.      Предполагая, что модуль Юнга и объём резины в процессе деформации не изменяются, получите теоретическую зависимость ℓ/ℓ₀ от F. Полученную формулу занесите в Таблицу № 1.

4.      Сравните экспериментальную зависимость с теоретической, полученной в п.3. Для этого подберите такие координаты, чтобы теоретическая зависимость ℓ(F) имела вид прямой линии.

5.      До каких значений ℓ/ℓ₀ модуль Юнга можно считать константой?

6.      Рассчитайте модуль Юнга E резины. Результат занесите в Таблицу № 1.

7.      Найдите теоретическое значение коэффициента Пуассона μ₀, при котором объём резинового шнура при деформациях не изменяется.

8.      Определите экспериментально коэффициент Пуассона резины, из которой изготовлен резиновый бинт. Для этого укрепите кусок резиновой ленты с помощью струбцин и снимите зависимость ширины ленты bот её длины ℓ. Результаты измерений занесите в Таблицу № 2.

9.      Получите теоретическую зависимость b(ℓ) для изотропного материала с коэффициентом Пуассона μ. Полученную формулу занесите в Таблицу № 2.

10.Постройте зависимость b(ℓ) в координатах, подходящих для определения коэффициента Пуассона. Из графика определите коэффициент Пуассона резины μ. Результат занесите в Таблицу № 2.

Таблица 2 Зависимость b(ℓ)